Un problème d'optique

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Un problème d'optique

Message  Eric Kouris le Mer 29 Oct - 19:50

Et mon dernier problème dans cette série ...

Je suis arrivé à la figure suivante :
Code:

% TeXgraph version 1.94 beta-7.2
% Fenetre Xmin Xmax Ymin Ymax Xscale Yscale
100#-5#5#-0.5#5#1#1##
% Marges gauche droite haut bas cadre gestion_couleur comptgraph
101#0#0#0#0#0#1#6##
% Affectation des Variables theta et phi et type de perspective
18##[theta:=0.5236, phi:=1.0472,OriginalCoord(1),IdMatrix(),IdMatrix3D(),ModelView(ortho)]##
% Déclaration des Variables Globales
15#a#1/3##
% Déclaration des Macros
% Déclaration des Eléments graphiques
% Courbe (Courbe cartés.)
21#Courbe#exp(-a*x)#5##
% Ox (Droite)
6#Ox#[ 0,1 ]#0#0##
% tangente (Courbe cartés.)
18##[tMax:=3]##
21#tangente#-a*x+1#5##
% objet6 (Utilisateur)
18##[tMax:=5]##
14#objet6#[
 Droite(1,2,-2), Droite(-1,2,2),
 psi:=-arctan(a), eta:=arctan((-1-a*2)/(-a-2)), q:=tan(psi-eta),
 Droite(-q,1,1), Droite(q,1,-1),
 mu:=arctan((1-a*q)/(a-q)), r:=tan(psi-mu),
 Droite(-r,1,B)
]#-1##

L'objet Courbe est une surface convexe, l'objet Droite sa tangente en un certain point (0,1 en l'occurrence), Ox, l'axe des abscisses.

J'ai une source lumineuse quelque part à gauche (mettons -4,1) et la lumière se propage en ligne droite suivant la loi de Snell-Descartes en se reflétant sur la droite Ox et sur la tangente (Droite).

J'ai tracé les droites supportant les rayons pour les premières réflexions.

Mes problèmes :
- avoir l'intersection de la droite Droite(q,1,-1) dans l'objet utilisateur avec la tangente pour pouvoir mettre la constante B adéquate.
- transformer toutes les droites en segments d'extrémité le point d'émission et le point de réflexion.

Merci d'avance


Dernière édition par Eric Kouris le Mer 29 Oct - 20:30, édité 1 fois

Eric Kouris

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Re: Un problème d'optique

Message  Eric Kouris le Mer 29 Oct - 19:56

La figure correspondante

http://img356.imageshack.us/my.php?image=7136th6.jpg

et l'énoncé de l'exo

Une source lumineuse située au point $(0,b)$, $b>0$, illumine la surface délimitée par l'axe des abscisses et le graphe d'une fonction convexe positive $f\in\mathscr{C}^{1}_{\left[0,+\infty\right[}$, $f(0)>b$. Les rayons lumineux sont réfléchis par le graphe de $f$ et par l'axe des abscisses selon une loi bien connue. Toute la surface est-elle illuminée si $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$?

Eric Kouris

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Re: Un problème d'optique

Message  P.Fradin le Mer 29 Oct - 21:02

J'ai tout réuni en un seul élément graphique:

Code:

[a:=0.3333, courbe:=Get(Cartesienne(exp(-a*x))), LabelSize:=tiny,
 S:=-5+i, {point de départ du rayon}
 B1:=-2,  {premier point d'incidence sur Ox}
 S':= bar(S),
 A1:=Get(Droite(B1,S')) InterL courbe, {premier point sur la courbe}
 D:=Get(tangente(exp(-a*x),Re(A1))), {tangente en A1}
 B1':=sym(B1, D),
 B2:= [A1,B1'] Inter [0,1],  {deuxième point sur Ox}
 A1':=bar(A1),
 A2:=Get(Droite(B2,A1')) InterL courbe,  {deuxième point sur la courbe}
 B2':=sym(B2, Get(tangente(exp(-a*x),Re(A2)))),
 B3:=[A2,B2'] Inter [0,1], {troisième point sur Ox}
 Droite(0,1),  {Ox}
 Width:=8, Ligne(courbe,0),  {la courbe}
 Width:=6, Ligne(D,0),      {tangente en A1}
 LineStyle:=dashed, Width:=4,
 Ligne([S,B1,A1,B2,A2,B3],0), {la trajectoire du rayon}
 LineStyle:=solid, Ligne([A1,Re(A1),jump,A2,Re(A2)],0),
 LabelArc(A1,B2,B1,0.25,1,"$\varphi_n$"),
 arc(A2,B2,B3,0.25,-1), J:=D Inter [0,1],
 arc(A1,J,B1,0.5,1), LabelArc(A1,J,B1,0.55,1,"$\theta_n$"),

LabelDot(B1,"$B_{n-1}$","S"), LabelDot(B2,"$B_{n}$","S"),
LabelDot(A1,"$A_{n}$","N"), LabelDot(A2,"$A_{n+1}$","N"),
LabelDot(Re(A1), "$x_n$","S"), LabelDot(Re(A1)+i*Im(A1)/2, "$y_n$","O",0,0.1),


J'ai essayé de faire la construction géométriquement, réflexion par réflexion:


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Re: Un problème d'optique

Message  Eric Kouris le Mer 29 Oct - 21:15

C'est sur que ton approche géométrique est plus élégante que mon approche analytique bourrine.

Sinon, comment couper la tangente pour qu'elle s'arrête sur l'axe des abscisses ?

Eric Kouris

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Re: Un problème d'optique

Message  P.Fradin le Mer 29 Oct - 21:21

Le plus simple est que je remette l'élément modifié:

Code:

[a:=0.3333, courbe:=Get(Cartesienne(exp(-a*x))), LabelSize:=tiny,
 S:=-5+i, {point de départ du rayon}
 B1:=-2,  {premier point d'incidence sur Ox}
 S':= bar(S),
 A1:=Get(Droite(B1,S')) InterL courbe, {premier point sur la courbe}
 D:=Get(tangente(exp(-a*x),Re(A1))), {tangente en A1}
 B1':=sym(B1, D),
 B2:= [A1,B1'] Inter [0,1],  {deuxième point sur Ox}
 A1':=bar(A1),
 A2:=Get(Droite(B2,A1')) InterL courbe,  {deuxième point sur la courbe}
 B2':=sym(B2, Get(tangente(exp(-a*x),Re(A2)))),
 B3:=[A2,B2'] Inter [0,1], {troisième point sur Ox}
 J:=D Inter [0,1], Sort(D),
 Droite(0,1),  {Ox}
 Width:=8, Ligne(courbe,0),  {la courbe}
 Width:=6, Ligne([D[1],J],0),      {tangente en A1}
 LineStyle:=dashed, Width:=4,
 Ligne([S,B1,A1,B2,A2,B3],0), {la trajectoire du rayon}
 LineStyle:=solid, Ligne([A1,Re(A1),jump,A2,Re(A2)],0),
 LabelArc(A1,B2,B1,0.25,1,"$\varphi_n$"),
 arc(A2,B2,B3,0.25,-1),
 arc(A1,J,B1,0.5,1), LabelArc(A1,J,B1,0.55,1,"$\theta_n$"),

LabelDot(B1,"$B_{n-1}$","S"), LabelDot(B2,"$B_{n}$","S"),
LabelDot(A1,"$A_{n}$","N"), LabelDot(A2,"$A_{n+1}$","N"),
LabelDot(Re(A1), "$x_n$","S"), LabelDot(Re(A1)+i*Im(A1)/2, "$y_n$","O",0,0.1),
]

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Re: Un problème d'optique

Message  Eric Kouris le Jeu 30 Oct - 1:52

Toutes les figures sont maintenant en place. Je peux t'envoyer un pdf de l'ensemble si cela t'intéresse.

Eric Kouris

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Re: Un problème d'optique

Message  P.Fradin le Jeu 30 Oct - 1:56

Oui Eric, tes exercices m'intéressent! Donc si ce n'est pas trop demandé, tu peux m'envoyer un fchier pdf.

Merci

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Re: Un problème d'optique

Message  Eric Kouris le Jeu 30 Oct - 2:08

C'est très bête mais je ne vois pas où on peut mettre un fichier attaché dans un message privé ... C'est une option que tu as interdite sur le forum ?

Eric Kouris

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Re: Un problème d'optique

Message  P.Fradin le Jeu 30 Oct - 2:16

Eric Kouris a écrit:C'est très bête mais je ne vois pas où on peut mettre un fichier attaché dans un message privé ... C'est une option que tu as interdite sur le forum ?

Je ne sais pas, mais tu peux m'envoyer directement un e-mail en cliquant sur le petit bouton à côté du bouton MP Very Happy

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