Un "pavage" de la droite

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Un "pavage" de la droite

Message  Eric Kouris le Mar 28 Oct - 12:19

Cette fois, j'ai le problème suivant (je reproduis l'énoncé et la figure qui va avec)

Soit $k>0$ un nombre irrationnel, $S=\left\{(x,y):kx\leq y\leq k(x+1)+1\right\}$ une bande dans $\mathbb{R}^{2}$ et $\Sigma=S\cap\mathbb{Z}^{2}$ l'ensemble des points à coordonnées entières de $S$. Vérifier que la projection orthogonale des points de $\Sigma$ sur un bord de la bande (voir la figure) la divise en segments dont les longueurs ne prennent que deux valeurs $a$ et $b$. Après avoir numéroté les segments avec des entiers en fonction de leur position sur la droite, on pose $\varepsilon_{i}=0$ si le $i$-ème segment est de longueur $a$ et $\varepsilon_{i}=1$ dans l'autre cas. Prouver que la suite $\{\varepsilon_{i}\}_{i\in\mathbb{Z}}$ est presque périodique.



Je me suis dit que l'on pouvait partir d'un quadrillage et mettre par dessus deux demi-plans à bord parallèle pour couper au-dessus et en-dessous. Mais je ne vois pas comment obtenir ces demi-plans. Ou alors passer par une fonction de remplissage pour appliquée à une fonction affine. Et ensuite, il y a le problème du parcours pour récupérer les points à coordonnées entières dans la bande.

Eric Kouris

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Re: Un "pavage" de la droite

Message  Alphonse Capriani le Mar 28 Oct - 12:31

Ah ouais!!!

Il faudrait que j'ajoute des frises apériodiques dans mon modèle Cristallo.mod!! Je vais me pencher sur ce problème prochainement... (enfin dans les 5 prochaines années j'espère!!!)

Sinon, je remarque que tu as mis des formule LaTeX dans ton post précédent. Ca fait un bon moment que je me dis qu'il faudrait que Patrick ajoute les balise [tex] ... [/tex] pour pouvoir éventuellement entrer de belles formules sur le forum.
Si tu lis ce message Patrick (et je sais que tu le fera!!!) j'ajoute cette idée à ma liste de suggestions pour le forum...

Alphonse Capriani

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Re: Un "pavage" de la droite

Message  P.Fradin le Mar 28 Oct - 13:21

Eric tu es sûr de la définition de ta bande (inégalité de droite)? Il me semble que les points (-1,1) et (0,0) sont dans la bande ce qui donne deux points confondus dans la projection et donc un segment de longueur nulle!

Edit: j'ai dit une betise car k doit être irrationnel.

Alphonse: le forum ne m'appartient pas, c'est un service de forumactif, je ne peux donc pas y mettre ce que je veux...

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Re: Un "pavage" de la droite

Message  Eric Kouris le Mar 28 Oct - 13:30

En fait, j'ai mis des formules Latex parce que j'ai fait un copier-coller de mon code Latex et parce qu'une personne passant sur le forum qui voudrait utiliser la figure au final préférera avoir l'énoncé de l'exo directement utilisable donc avec du Latex.

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Re: Un "pavage" de la droite

Message  P.Fradin le Mar 28 Oct - 14:00

J'ai fait un premier test:

Code:

[k:=sqrt(2), view(-5,5,-7,10), size(12,1),
Color:=gray, Width:=2, Grille(0,1+i), Color:=black,
Width:=6, Droite(k,-1,0), Droite(-k,1,k+1),
liste:= for x from -4 to 4 do
            for y from -10 to 10 do
                if (k*x <= y) And (y<= k*x+k+1) then x+i*y fi
            od,
        od,
Width:=12, Ligne(liste,0), LineStyle:=dotted,
Ligne(for z in liste do z, proj(z,[0,1+i*k]),jump od, 0),
liste:= proj(liste,[0,1+i*k]),
a:=abs(liste[2]-liste[1]),last:=liste[1],
LabelSize:=tiny,LabelStyle:=left,
for z in liste[2,0] do
      if abs(abs(z-last)-a)<0.001 then Label((z+last)/2+0.075/Xscale,"$a$")
        else Label((z+last)/2+0.075/Xscale,"$b$")
      fi,
      last:=z
od,
FillStyle:=full, LineStyle:=noline,
Clip([3+10*i, -5-2*i, -5-7*i, -2-7*i, 5+3*i, 5+10*i, 3+10*i])
]

ce qui me donne:

comme tu le vois, les points (-1,1) et (0,0) posent un problème!

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Re: Un "pavage" de la droite

Message  Eric Kouris le Mar 28 Oct - 14:25

Je regarde tout cela en détail cet après-midi.

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Re: Un "pavage" de la droite

Message  Eric Kouris le Mar 28 Oct - 16:14

J'ai légèrement modifié le code et ça roule (j'ai décalé légèrement la droite du dessus)


Code:

% TeXgraph version 1.94 beta-7.2
% Fenetre Xmin Xmax Ymin Ymax Xscale Yscale
100#-5#5#-7#10#0.64705882352941#0.64705882352941##
% Marges gauche droite haut bas cadre gestion_couleur comptgraph
101#0.5#0.5#0.5#0.5#0#1#1##
% Affectation des Variables theta et phi et type de perspective
18##[theta:=0.5236, phi:=1.0472,OriginalCoord(1),IdMatrix(),IdMatrix3D(),ModelView(ortho)]##
% Déclaration des Macros
% Déclaration des Eléments graphiques
% objet1 (Utilisateur)
14#objet1#[k:=sqrt(2), view(-5,5,-7,10), size(12,1),
Color:=gray, Width:=2, Grille(0,1+i), Color:=black,
Width:=6, Droite(k,-1,0), Droite(-k,1,k+1-0.01),
liste:= for x from -4 to 4 do
            for y from -10 to 10 do
                if (k*x <= y) And (y<= k*x+k+1-0.01) then x+i*y fi
            od,
        od,
Width:=12, Ligne(liste,0), LineStyle:=dotted,
Ligne(for z in liste do z, proj(z,[0,1+i*k]),jump od, 0),
liste:= proj(liste,[0,1+i*k]),
a:=abs(liste[2]-liste[1]),last:=liste[1],
LabelSize:=tiny,LabelStyle:=left,
for z in liste[2,0] do
      if abs(abs(z-last)-a)<0.001 then Label((z+last)/2+0.075/Xscale,"$a$")
        else Label((z+last)/2+0.075/Xscale,"$b$")
      fi,
      last:=z
od,
FillStyle:=full, LineStyle:=noline,
Clip([3+10*i, -5-2*i, -5-7*i, -2-7*i, 5+3*i, 5+10*i, 3+10*i])
]#-1##

Ceci ne règle bien sur rien à la question de fond.

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Re: Un "pavage" de la droite

Message  Eric Kouris le Mar 28 Oct - 16:18

Du coup, j'ai regardé de près le texte russe et j'ai vu que j'avais fait une erreur ... dans les maths (argh ! même pas une erreur de traduction).

Le problème vient de la définition de la bande S :
$S=\left\{(x,y):kx\leq y<k(x+1)+1\right\}$
la seconde inégalité n'est pas large mais stricte.

Et au passage, la définition était erronée dans la traduction anglaise de la première édition (et vu que j'ai d'abord utilisé cette version pour préparer la traduction du russe ...)

Eric Kouris

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Re: Un "pavage" de la droite

Message  P.Fradin le Mar 28 Oct - 16:35

Je m'en doutais un petit peu alors j'avais anticipé la chose:

Code:

[k:=sqrt(2), view(-5,5,-7,10), size(12,1),
Color:=gray, Width:=2, Grille(0,1+i), Color:=black,
Width:=6, Droite(k,-1,0), Droite(-k,1,k+1),
liste:= for x from -4 to 4 do
            for y from -10 to 10 do
                if (k*x <= y) And (y< k*x+k+1) then x+i*y fi
            od,
        od,
Width:=12, Ligne(liste,0), LineStyle:=dotted,
Ligne(for z in liste do z, proj(z,[0,1+i*k]),jump od, 0),
liste:= proj(liste,[0,1+i*k]),
a:=abs(liste[2]-liste[1]),last:=liste[1],
LabelSize:=tiny,LabelStyle:=left,
for z in liste[2,0] do
      if abs(abs(z-last)-a)<0.001 then Label((z+last)/2+0.075/Xscale,"$a$")
        else Label((z+last)/2+0.075/Xscale,"$b$")
      fi,
      last:=z
od,
FillStyle:=full, LineStyle:=noline,
Clip([4+10*i, -5-3*i, -5-7*i, -3-7*i, 5+5*i, 5+10*i, 3+10*i])
]


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Re: Un "pavage" de la droite

Message  Alphonse Capriani le Mar 28 Oct - 18:07

P.Fradin a écrit:Alphonse : le forum ne m'appartient pas, c'est un service de forumactif, je ne peux donc pas y mettre ce que je veux...

Oui!! Ca je m'en doute!

Si je ne me trompe pas, la plupart des hébergeur de forum mette a disposition des "packages" que les créateurs (ou plutot administrateur) des forums peuvent utiliser pour agrémenter leur forum. Il doit y en avoir qui incluent les balises [tex] ... [/tex]

Mais bon, je maitrise pas le sujet et en plus, ca dépend surement des hébergeurs...

Je clos ce magnifique Hors Sujet pour revenir sur cette fameuse frise apériodique...

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Re: Un "pavage" de la droite

Message  P.Fradin le Mar 28 Oct - 19:11

Alphonse Capriani a écrit:
Si je ne me trompe pas, la plupart des hébergeur de forum mette a disposition des "packages" que les créateurs (ou plutot administrateur) des forums peuvent utiliser pour agrémenter leur forum. Il doit y en avoir qui incluent les balises [tex] ... [/tex]

Tu as peut-être raison Alphonse. Je vais quand même me renseigner.

Edit: J'ai ajouté au forum un script d'un serveur TeX public (mathran), par exemple le code:

Code:

<img alt="tex:\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\,dt=\frac{\sqrt{\pi}}2 ">

donne: tex:\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\,dt=\frac{\sqrt{\pi}}2

mais il faut activer l'Html dans son profil. Bon, c'est pas le top quant à l'utilisation.

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Re: Un "pavage" de la droite

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